Libro de Matemática 4 grado

Portada de la Segunda Cartilla de Matemáticas para grado cuarto del programa Escuela Nueva del Ministerio de Educación Nacional de Colombia.

Página legal con autoridades del Ministerio de Educación Nacional, autores de la cartilla, equipo técnico, derechos de autor 2010 e ISBN del libro.

Presentación del viaje de aprendizaje: las cartillas se organizan en unidades y guías, y cada guía tiene cuatro partes (A, B, C y D) con roles didácticos distintos.

Completa la explicación de la estructura: las partes C (precisar y ampliar) y D (aplicar a la vida), presenta los iconos de trabajo y despecha con ¡a volar!.

Índice de la segunda cartilla: decimales (unidad 5), perímetros, áreas y volúmenes (unidad 6) y arreglos (unidad 7), con guías 10 a 15 y sus páginas.

Segunda parte del índice: variación de magnitudes (unidad 8), figuras y circunferencia (unidad 9) y medidas de ángulos (unidad 10), con guías 16 a 21.

Lista los estándares básicos de competencias que se trabajan en la Guía 10: medidas relativas, notación decimal, fracciones, porcentajes, magnitudes medibles y patrones numéricos.

Lista los estándares de la Guía 11 (fracciones en contextos, notación decimal, cálculo exacto o aproximado, estimación, área y volumen) y anuncia el desarrollo de competencias matemáticas.

Representa medidas de longitud, capacidad, masa y tiempo en el ábaco, entendiendo cada columna como una unidad decimal (o sexagesimal en el tiempo).

Explica cómo escribir medidas como 3 m y 27 cm como número decimal (3,27 m), distinguiendo parte entera y decimal, y pide completar dos medidas como decimales.

Enseña a escribir ceros cuando una posición decimal no se completa (5 m y 2 cm = 5,02 m, no 5,2 m) y pide completar cuatro medidas como números decimales.

Muestra que una misma medida (5 m y 23 cm) se escribe 5,23 m, 52,3 dm o 523,0 cm según la unidad, y pide convertir cinco medidas al decimal con la unidad indicada.

Aplica la escritura decimal a capacidad y masa: ejemplos con 5 l y 2 cl (5,02 l) y 3 Kg y 25 g (3,025 kg), más seis medidas por convertir con el ábaco.

Explica que en Colombia la coma separa decimales y el punto los miles, pero computadores y calculadoras suelen usarlo al revés, y que el contexto resuelve la ambigüedad (2.476 m).

Tres situaciones para decidir si el punto separa decimales o miles (5.286 Kg, 3.274 pacientes, 3.053 l) y el ejemplo de conversión 1,32 m = 13,2 dm.

Página de ejercicios de conversión de unidades del Sistema Métrico Decimal (m a cm, km a m, cm a m, cl a l, g a kg) y un caso grupal: expresar un palo de 50 cm en metros, apoyado en situaciones semejantes (320 ml en litros y 437 g en kilogramos).

Explica con tabla posicional (m, dm, cm, mm) que 50 cm se escribe 0.50 m y también 0.5 m, pues el cero de la parte entera indica que no hay un metro completo; cierra con la recta numérica y la actividad 6: convertir 486 ml a litros, 2.54 cm a metros y 1/2 km a decimal.

Actividades 7 a 10: calcular en columnas sumas, restas, una multiplicación y una división con decimales (incluidas dos con unidades distintas que hay que convertir), y resolver problemas de distancia recorrida (2.72 km menos 700 m) y de pedazos sobrantes de un palo de 3.5 m.

Inicio de la Guía 10 D: en grupo se resuelve cuántos metros son 25 km hasta la iglesia, se recolectan y clasifican al menos 5 empaques según su magnitud (peso o capacidad) ordenándolos de mayor a menor, y se planea una investigación sobre edad, peso y estatura.

Plantea dos preguntas guía (¿a mayor edad mayor peso?, ¿a mayor estatura mayor peso?) y da las sugerencias metodológicas para el estudio: escoger 10 compañeros, registrar en una tabla peso, estatura y edad, midiendo con aproximación a gramos, a metros y a meses.

Continúa las sugerencias del estudio (dos tablas ordenadas, gráficos de barra y conclusiones) y propone la actividad 3: revisar puntos marcados en rectas de metros y de gramos, identificar cuáles están mal ubicados y corregirlos según las décimas.

Actividad 4: pesar cinco unidades de un producto regional (papa, zanahoria, naranja, mango), registrar en tabla, identificar el menor y el mayor peso, buscar el valor alrededor del cual se agrupan y graficar los datos en una recta, con el ejemplo de 7 frutos cuyo centro de agrupación es 50 g.

Presenta las «máquinas» que multiplican por una fracción (1 dm por 1/10 da 1 cm) y sus tres lecturas: como partición, como relación entre la unidad final y la inicial, y entre la inicial y la final; la actividad 1 pide completar las máquinas 1 m×1/10, 1 m×1/100, 1 km×1/1000 y 1 l×1/1000.

Actividades 2 a 4: completar frases como «1 m es 1/1000 de 1 km» con fracciones, hacer lo mismo en cuatro cuadros de longitud, peso, capacidad y tiempo (1 min es 1/60 de 1 h), y comparar la semejanza del sistema métrico decimal frente al sistema sexagesimal del tiempo.

Página teórica de la Guía 11 B: con frases, igualdades y tablas posicionales (m, dm, cm, mm) muestra que 1 dm es 1/10 de 1 m (0.1 m), 1 cm es 1/100 (0.01 m) y 1 mm es 1/1000 (0.001 m), es decir décimos, centésimos y milésimos de un metro.

Actividad 1: completar ocho igualdades con decimales entre unidades (1 Dm = 0.1 Hm, 1 m = 0.001 km, 1 cl = 0.01 l, 1 dg = 0.01 Dg, entre otras) y recuadro que ilustra en una regla las décimas de 1 dm: 0.1, 0.2, ..., 0.9 y 1.0 dm como décimos.

Con el ejemplo 3 cm = 3/10 de dm = 0.3 dm, la actividad 2 pide completar cuatro pares de expresiones con fracción y decimal (4 cm, 32 cm, 5 dl, 325 g) y la actividad 3 convierte a centímetros las medidas en pulgadas: media pulgada (llave), 1/8 (tuerca) y 3/4 (tornillos), sabiendo que 1 pulgada = 2.54 cm.

Introduce la calculadora física o digital, sus teclas principales (encendido, borrado, punto decimal, signos) y su pantalla de 12 cifras; las actividades piden explorar la web de Colombia Aprende, escribir números de hasta 11 cifras leyéndolos correctamente (1.234.278.100) y calcular 351 ÷ 3 = 117.

Actividades 3 y 4 con la calculadora: seis operaciones con números grandes sin escribir puntos de millar (78.254 + 452.148 + 1.347.478 = 1.877.880), el significado de la división inexacta 235 ÷ 3 = 78.33333333, cociente y residuo de tres divisiones, y la suma decimal 123,7 + 59,04 = 182,74.

Actividad 5: calcular con decimales (2,0015 + 3,71 = 5,7115; 1,00027 × 0,0082 = 0,008202214; entre otras) y recuadro que reparte 1,5 l entre 8 personas (0,1875 l cada una, aproximadamente 19 cl), explicando cuántas cifras decimales tomar según la precisión; actividad 6: medir medio centilitro (5 ml).

Explica por qué $1.5 \div 8 = 0.1875$ se aproxima a 0.19 y no a 0.18, y plantea problemas con calculadora: reparto de tabla y torta, compra de galletas y conversiones a centigramos y milímetros.

Guía 11 D: se calcula el precio de cada fruta de una docena a partir del vuelto, se interpreta el peso 2.353 kilos de una canasta de naranjas y se analiza si el peso por naranja calculado es mayor o menor que el real.

Jorge fabricó 28 fichas de dominó de $4 \times 2 \times 1$ cm y tres cajitas de cartón. Se compara el cartón gastado (área) en cada caja y se verifica cuáles sirven para empacar el dominó completo (capacidad).

Página de estándares de aprendizaje: presenta las metas de la Guía 12 (perímetros y áreas de cuerpos sólidos) y de la Guía 13 (sistema de unidades de área y uso de la estimación en mediciones).

Página de estándares de la Guía 14 (Unidad 6): metas sobre medición de magnitudes, unidades apropiadas, área y volumen de cuerpos sólidos, relaciones perímetro-área e igualdades numéricas.

Se compara el área de dos terrenos (un rectángulo de $50 \times 30$ m y una figura en L) usando el metro cuadrado como unidad, y se calcula el área de un terreno rectangular de $35 \times 22$ m.

Enseña a medir el área de triángulos dibujados sobre cuadrícula usando el centímetro cuadrado: se cuentan los cuadrados completos y se juntan los pedazos del borde para aproximar el área total.

Actividad práctica en la que se dibuja un triángulo dentro de un rectángulo de la misma base y altura, se calculan ambas áreas, se recorta y se descubre que el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo.

Ejemplo teórico (rectángulo $3 \times 8 = 24 \, \text{cm}^{2}$, triángulo $12 \, \text{cm}^{2}$) y ejercicio 4: hallar el área de dos triángulos de la cuadrícula contando cuadritos y completando rectángulos; ambos miden $30 \, \text{cm}^{2}$.

Historia-problema: don Ricardo quiere duplicar el área de su terreno cuadrado conservando la forma cuadrada. Sebastián ensaya recortes con dos cuadrados de papel y los primeros intentos (3 y 5 pedazos) no forman un cuadrado.

Se completa el rompecabezas de don Ricardo (el cuadrado del doble de área, cuyo lado es la diagonal) y el ejercicio 2 investiga los rectángulos con 24 cuadritos: el área es fija ($24 \, \text{cm}^{2}$) pero el perímetro varía, máximo $50 \, \text{cm}$.

Con un cuadrado de 1 dm de lado se establece que $1 \, \text{dm}^{2} = 100 \, \text{cm}^{2}$; un triángulo de base 10 cm y altura 10 cm mide $50 \, \text{cm}^{2}$ (la mitad) y equivale al rectángulo sombreado de la mitad inferior.

Ejercicios 4 a 6: al recortar un cuadrado y rearmarlo como rectángulo o triángulo el área no cambia pero el perímetro crece; los potreros de $24 \times 24$ m y $48 \times 12$ m tienen la misma área ($576 \, \text{m}^{2}$) pero cercas distintas (96 m y 120 m).

Problemas de aplicación: reparar $12 \, \text{m}$ de cerca en un lote de $120 \, \text{m}^{2}$, y cambiar una huerta de $4 \times 16$ m por un cuadrado de $8 \, \text{m}$ de lado, ahorrando $8 \, \text{m}$ de cerca.

Se dibuja a escala 1 cm = 1 m un terreno irregular de lados 50, 22, 57 y 60 m con ángulos casi rectos en A y B, y se calcula su área partiendo el plano: $22 \times 50 = 1.100 \, \text{m}^{2}$ más el triángulo $38 \times 50 \div 2 = 950 \, \text{m}^{2}$, total unos $2.050 \, \text{m}^{2}$.

Página 48 de 140 (Guía 13A): inicia el tema del sistema de unidades de área con una actividad grupal en la que se estima el área de las caras de una caja y luego se compara la estimación con el área calculada midiendo.

Página 49 de 140 (Guía 13A): explica que la unidad de área se elige según el tamaño de la superficie: m² para el salón de clase, cm² para un baldosín y hectáreas (hectómetro cuadrado) para terrenos grandes como una finca.

Página 50 de 140 (Guía 13B): muestra con una cuadrícula de 10×10 que 1 dm² = 100 cm² y pide aplicar el mismo método para hallar las equivalencias entre m² y Dm², mm² y cm², y Dm² y Hm².

Página 51 de 140 (Guía 13C): compara la escala de unidades de longitud (de 10 en 10) con la de unidades de área (de 100 en 100) y pide elegir la unidad adecuada para cinco superficies y hallar en dm² el área de un terreno de 6 m × 15 m.

Página 52 de 140 (Guía 13C): enseña a escribir equivalencias de área con fracciones y decimales (1 dm² = 1/100 de m² = 0,01 m²), pide hacerlo para cuatro pares de unidades y plantea el problema del rectángulo en tela de caucho estirada 10 veces.

Página 53 de 140 (Guía 13D): calcula el área de un terreno escalonado de 30 000 m² (3 hectáreas) descomponiéndolo en rectángulos, recuerda que la hectárea es un cuadrado de 1 Hm de lado e investiga unidades regionales para medir terrenos.

Página 54 de 140 (Guía 14A): introduce el volumen pidiendo comparar cajas (cuál guarda más, cuál menos, cuáles son iguales) y observar un estante de cocina para decidir qué objeto ocupa más y cuál menos espacio.

Página 55 de 140 (Guía 14A): construye torres con cajas y dados, compara cuál ocupa más espacio y mide el volumen de tres construcciones contando dados: bloque de 8, fila de 6 y torre de 6 dados.

Página 56 de 140 (Guía 14A): cuenta los cubos de una caja por capas (4 × 4 = 16 por capa, 3 capas: 48 cubos) y compara el volumen interior de una caja de 4×6×1 cm (24 cm³) con una de 3×3×3 cm (27 cm³).

Página 57 de 140 (Guía 14B): define el decímetro cúbico (cubo de 1 dm de lado) y el centímetro cúbico (cubo de 1 cm de lado, 1 cc) y pide calcular cuántos cm³ caben en 1 dm³ (1 000) y cuántos dm³ en 1 m³ (1 000).

Página 58 de 140 (Guía 14C): mide el volumen de cuatro cuerpos contando cubos (9, 8, 8 y 12), halla que el cuerpo rosa y el naranja tienen igual volumen, cuenta una pila de 25 ladrillos y los paquetes de margarina de una caja.

Página 59 de 140 (Guía 14D): resuelve dos problemas: doña Fabiola agrega 3 litros de agua a 2 litros de jugo (1 500 cc por litro) y la caja de 3×4×2 dm (24 dm³) es la que empaca sin sobrar espacio las 24 mantecadas del molde de 6×4×1 dm.

Página 60 de 140 (Guía 14D): calcula la pita para amarrar la caja de mantecadas (240 cm con el nudo), propone un problema casero de volumen, mide el salón en m³ y construye un cubo sin tapa de 1 dm de lado que guarda 1 litro.

Página 61 de 140 (Guía 14D): verifica con agua que la cajita de 1 dm de arista tiene capacidad de 1 litro (1 dm³ = 1 l) y, llenándola con cubitos de 1 cm, halla 100 cubitos por capa y 10 capas: 1 000 cm³ = 1 000 cc.

Página 62 de 140 (Guía 14D): concluye que el bloque de 1 000 cubitos mide 1 000 cm³ = 1 dm³ y resuelve: la caja de fósforos de una capa de 3×2 cubitos tiene 6 cm³ de volumen y el balde de 8 litros tiene 8 dm³ de capacidad.

Página introductoria de la Unidad 7 (Guía 15, sobre arreglos y representación de datos): presenta los estándares y las competencias matemáticas que se desarrollarán. Página 65 de 140.

Abre la Guía 15A: se aprende el juego 'picas y palas' y se estudia un diálogo en el que Alejo describe fichas de parqué (3 colores y 2 tamaños) guardadas en una caja sellada, para introducir los arreglos. Página 66 de 140.

Continúa el diálogo de la Guía 15A: con la información de Alejo (fichas rojas, verdes y amarillas, cada color en tamaño grande y pequeño) se responden once preguntas lógicas sobre la caja sellada. Página 67 de 140.

Mariana organiza la información en un diagrama de árbol (fichas → rojas, verdes, amarillas → grandes y pequeñas) y en una tabla de doble entrada; se cuentan los tipos de fichas y se amplía a 4 colores y 3 pesos. Página 68 de 140.

Guía 15B: los niños Juan, Antonio y Sofía suben al bus y se escriben los 6 órdenes posibles; luego se amplía a 4 niños (24 órdenes) y a un concurso con 4 finalistas usando un diagrama de árbol. Página 69 de 140.

Se estudia un procedimiento ordenado para listar los 6 órdenes en que Juan, Antonio y Sofía suben al bus (fijando quién va primero), y se usa el método para verificar las actividades 2 y 3 de la página anterior. Página 70 de 140.

Guía 15C: se forman parejas de 6 niños sin que importe el orden (15 grupos posibles, con conteo 5+4+3+2+1) y se buscan las parejas de cartas válidas entre 5 cartas según la regla del libro. Página 71 de 140.

Se estudia el método de Alejo para contar los grupos de a dos: llena una tabla de doble entrada con las 6 por 6 = 36 parejas y borra las imposibles y repetidas, quedando 15 parejas. Página 72 de 140.

Método de Mariana: con un diagrama de árbol sin ramas repetidas cuenta los grupos de Rosa (5), Ana (4 nuevos), Juliana (3), Camilo (2) y Pedro (1), total 5+4+3+2+1=15; luego se verifica el problema de las cartas. Página 73 de 140.

Guía 15D: se cuentan las formas de escoger 3 objetos entre 4 (4 posibilidades) y los platos de dos frutas diferentes entre banano, naranja, mango y patilla (6 platos). Página 74 de 140.

Página introductoria de la Guía 16: presenta los estándares sobre situaciones aditivas, proporcionalidad directa e inversa, variaciones en gráficos y patrones numéricos. No contiene ejercicios. Página 76 de 140.

Página introductoria de la Unidad 8 (Guía 17, sobre tablas y gráficas): presenta los estándares sobre fracciones, variaciones en gráficos y patrones numéricos, y las competencias matemáticas. No tiene ejercicios. Página 77 de 140.

Teoría de la Guía 16A: diferencia entre los problemas de los libros (con datos y preguntas dadas) y los problemas de la vida (surgen de una necesidad, sin pregunta clara); prepara el estudio de una situación abierta. Página 78 de 140.

Situación abierta de la Guía 16A: un granjero debe llevar huevos en cubetas de 30 unidades en una camioneta de 2,10 m de largo, 1,50 m de ancho y 1,05 m de alto; con cubetas de 25 por 30 por 6 cm caben 714 cubetas, unos 21.420 huevos. Página 79 de 140.

Continúa el problema abierto: dos cubetas apiladas miden 10 cm; el granjero compara tres cajas (11 por 38 por 20, 62 por 40 por 38 y 105 por 80 por 50 cm) y decide cuál usar, cuántos huevos lleva y los pesos totales. Página 80 de 140.

Página 81 de 140 (Guía 16 A): propone pensar preguntas para el proyecto productivo escolar y un problema del tendero que vende melaza, donde se corresponde la altura del nivel de la melaza con la cantidad de canecas llenas (cada caneca baja el nivel 4 cm).

Página 82 de 140: continúa la Guía 16 A. Se debe llenar una tabla que relaciona el número de canecas llenas con la altura del nivel de la melaza y se introduce la idea de magnitudes que varían: al crecer una, la otra disminuye.

Página 83 de 140 (Guía 16 B): presenta la tabla canecas-nivel de la guía anterior, pregunta el nivel para 10, 12 y 14 canecas y explica los dos primeros pasos para graficar: decidir qué magnitud va en cada eje y definir la escala horizontal.

Página 84 de 140 (Guía 16 B): continúa el procedimiento para graficar la variación canecas-nivel: escala del eje vertical (paso 3), representación del primer par (0, 50) y del segundo (2, 42), y ubicación de todos los pares hasta (8, 18).

Página 85 de 140 (Guía 16 B): completa la gráfica uniendo los puntos con una línea (paso 7) y pide leer alturas para 3, 7, 8, 10, 12 y 8.5 canecas, decidir si alcanzan para 13 canecas y describir los rangos de variación.

Página 86 de 140 (Guía 16 C): nuevo tanque de 0,80 m donde cada caneca baja el nivel 0,05 m; se pide graficar la tabla, hallar el máximo de canecas (16), los rangos de variación y alturas para 3 y 2.5 canecas.

Guía 16 D: construye tablas y gráficas que relacionan el valor pagado con la cantidad comprada (dulces a $750, pasajes de bus a $2.500 y queso a $10 el gramo), para estudiar la variación de dos magnitudes.

Guía 17 A: se interpreta la gráfica de la altura de una niña que sube escalones de 30 cm cada uno; se calculan alturas y escalones y se compara con la gráfica descendente de la venta de melaza de la Guía 16B.

Guía 17 B: se reproduce la gráfica del nivel de melaza según las canecas llenadas, se extiende la recta hasta cortar el eje horizontal y se introducen el papel milimetrado y las gráficas cartesianas con sus ejes x y y.

Ejercicio 2 de la Guía 17 B: con la gráfica del nivel de melaza, se calcula la altura inicial (120 cm), las canecas que llena el depósito (120) y la altura o el descenso del nivel para cantidades dadas de canecas.

Guía 17 C: introducción a un experimento grupal en el que se vierten 1, 2, 3, ... vasos de agua en una vasija cilíndrica para estudiar cómo varía la altura del nivel del agua, magnitudes distintas a las del caso de la melaza.

Paso 1 y Paso 2 de la Guía 17 C: conseguir tres vasijas (A transparente y cilíndrica, B tipo vaso que suba el nivel entre 5 y 10 cm, C recipiente para el agua) y pegar una tira de cinta vertical en la vasija A para medir.

Pasos 3, 4 y 5 de la Guía 17 C: verter 1 vaso en la vasija A marcando la altura en la cinta, repetir hasta unos 6 vasos y medir con regla cada nivel, aproximando a milímetros, para elaborar tabla y gráfica.

Ejercicios 2 y 3 de la Guía 17 C: con las mediciones del experimento se llena la tabla de 1 a 5 vasos, se grafica el nivel de agua contra el número de vasos y se observa que la línea resulta casi una recta creciente.

Guía 17 C: la gráfica experimental es una línea quebrada por errores de medición; se traza una recta aproximada (rectificación) y con ella se lee la altura del agua para 2, 5, 3 y medio, 4 y un cuarto, y 2 y tres cuartos de vaso.

Página 96 de 140: compara la recta creciente del experimento de la vasija con las gráficas descendentes de la melaza y usa la gráfica nivel del agua–número de vasos (8 cm por vaso) para hallar alturas y cantidades de vasos.

Página 97 de 140 (Guía 17D): interpreta expresiones como 'de cada 4 personas 3 hacen deporte' y completa la receta de limonada de don Alberto (medio limón y 15 g de azúcar por cada 2 vasos) manteniendo el mismo sabor.

Continuación de la Guía 17 D (página 98 de 140): se grafican las recetas de don Alberto, doña Paulina y don Sebastián, se decide cuál limonada es más ácida o más dulce, se tabulan cantidades para 2, 15 y 20 vasos y se interpreta una encuesta de inmigración en la vereda Rosa Alta.

Portadilla de la Unidad 9, «Algo más sobre las figuras» (página 99 de 140): abre el bloque de geometría y medición con figuras circulares, ruedas de bicicleta y una caja cilíndrica que anticipan las Guías 18, 19 y 20.

Página 100 de 140: presenta los estándares que el estudiante debe lograr en la Guía 18 (relaciones y transformaciones de figuras) y en la Guía 19 (longitud de la circunferencia, perímetro, área y patrones).

Página 101 de 140 (Unidad 9): enuncia los estándares de la Guía 20, 'Midamos el área del círculo': magnitudes medibles, unidades, patrones numéricos y relaciones de dependencia entre cantidades.

Guía 18 A (Recordemos): se dibujan dos moldes para un prisma hexagonal, uno pentagonal y uno triangular; se descubre que de los cinco moldes propuestos solo el hexágono de 6 triángulos y el paralelogramo de 6 triángulos no forman un sólido cerrado.

Página 103 de 140: de cuatro juegos de caras solo la pirámide cuadrangular (4 triángulos y 1 cuadrado) y el cubo (6 cuadrados) forman sólidos; con regletas se descubre que el triángulo es rígido y el rombo se deforma, y se trazan figuras con escuadra y compás.

Guía 18B introduce dos formas de entender las figuras planas: como frontera (línea quebrada cerrada) y como superficie (región interior). Presenta el caso especial de la circunferencia (frontera) y el círculo (región interna).

Explica qué expresiones son correctas (perímetro del triángulo o de la circunferencia, área del rectángulo o del círculo) y propone calcular el perímetro de un trapecio, un rombo y un pentágono, más el área aproximada con cuadrícula.

Guía 18C: presenta rectángulo, cuadrado, rombo y paralelogramo, y pide construir una definición de cuadrado, analizar si un rombo girado es cuadrado y deformar un cuadrado con regletas CRA para revisar la definición.

Continúa la Guía 18C: define el rectángulo por sus ángulos rectos, lo compara con el cuadrado y muestra con un diagrama de Venn que todo cuadrado es un rectángulo especial.

Define paralelogramo (lados opuestos paralelos) y rombo (cuatro lados de la misma longitud) y pide completar ocho frases con 'todo' o 'algún' para que sean verdaderas, comparando cuadrado, rombo, rectángulo y paralelogramo.

Guía 18D: actividad práctica para construir una cometa con listones de balso y plástico siguiendo cuatro pasos, usando ángulos de 90° y el rombo que se forma al tensar la pita; sugiere consultar videos en internet.

Guía 19A: se construyen figuras con compás (rosetón y círculos concéntricos), se estudian las líneas de la circunferencia (radio, diámetro, cuerda, arco, centro) y se dibujan circunferencias de 2 cm de radio y 8 cm de diámetro.

Guía 19B: con 5 objetos curvos (disco, tambor, rueda, etc.) se mide con pita la longitud de la circunferencia y el diámetro; ejemplos: tambor 114 cm y 36 cm, disco 38 cm y 12 cm, preparando el descubrimiento de pi.

Con las medidas de cinco objetos se llena una tabla que divide la circunferencia entre el diámetro (ejemplo: 114 ÷ 36 ≈ 3.16) y se concluye que en toda circunferencia la relación es aproximadamente la misma, cerca de 3.

Pide trazar en el patio circunferencias de 2 m y 4 m de diámetro y repetir la relación C÷d; con barras muestra que la circunferencia es 3 diámetros más un pedazo, y el diámetro cabe unas 7 veces en... más bien cabe 7 pedazos en el diámetro.

Establece que la circunferencia mide aproximadamente 3 1/7 veces el diámetro y pide construir círculos de 10 a 50 cm de diámetro, medir sus perímetros y completar la tabla y la gráfica cartesiana que muestra una línea recta.

Con la gráfica cartesiana se halla la circunferencia para diámetros de 25 cm, 1 m y 21 cm, el radio para perímetros de 12.6 y 31.5 cm, y se completa la tabla cuyos cocientes dan 3.14: se introduce P ÷ L ≈ 3.14.

Guía 19C: historia del número pi: egipcios, babilonios, chinos y griegos hallaron que la circunferencia mide '3 veces y un poquito' el diámetro; Arquímedes estableció 3 1/7 y la letra π (se lee 'pi') representa esta constante.

Mariana pregunta si hay más relaciones constantes: se estudia la secante trazada a media distancia del radio en una circunferencia (relación constante ≈ 3.6) y dos casos en el rectángulo (línea paralela a la base y diagonal), que no son constantes.

Presenta la fórmula P = 3.14 × D para calcular el perímetro de la circunferencia a partir del diámetro o del radio, y resuelve: perímetros de 15 cm de diámetro y 8 cm de radio, el diámetro de un perímetro de 6.3 cm y el papel para forrar un tarro de 21 cm × 24 cm.

Página de la Guía 19 D con problemas aplicados del perímetro de la circunferencia: hallar el diámetro de un aro hecho con una varilla de 1 m y calcular cuánto avanza una rueda de radio 24 cm en una vuelta, en 100 vueltas y para recorrer 1 km.

Guía 20 A abre el tema del área del círculo: una oveja amarrada con cuerda de 7 m a un árbol define una región circular de pastoreo, que se estima primero por razonamiento y luego contando cuadros en papel cuadriculado a escala.

Guía 20 B, actividad práctica: se dobla un círculo de papel tres veces por la mitad, se corta por los dobleces en 8 gajos, se alinean en zigzag y el gajo sobrante se parte a la mitad, para construir una figura parecida a un paralelogramo y deducir el área del círculo.

Concluye la Guía 20 B: la figura de gajos de la página anterior se convierte en un rectángulo de base ½ L y altura R, deduciendo A = ½ L × R; se aplica al pastoreo de la oveja y se calculan áreas de círculos de 4 cm, 2 Hm, 1 m, 10 cm, 8 cm y 3 Dm.

Guía 20 C: cálculo de áreas sombreadas — semicírculo de diámetro 5 cm, mitad de un círculo de 6 cm dividido en 8 gajos, un cuadrante de 4 cm, un círculo de radio 4 cm con cuadrado inscrito y un cuadrado de 5 cm con círculo inscrito.

Guía 20 D: dos problemas aplicados — calcular el papel para forrar una caja circular de 20,5 cm de diámetro, 10 cm de altura y tapa de 21 cm, y el área circular de entrenamiento de caballos con radio 8 m.

Página introductoria de la Unidad 10: presenta los estándares curriculares que se trabajan en la Guía 21 'Aprendamos a medir la amplitud de los ángulos' y anuncia las competencias matemáticas a desarrollar.

Guía 21 A inicia el tema de ángulos: con regletas del CRA se arman un triángulo, un cuadrilátero y un pentágono equiláteros y se deforman presionando sus esquinas para investigar cuáles pueden llegar a tener ángulos internos rectos.

Guía 21 B: se clasifican cuatro ángulos como de amplitud mayor (azul) o menor (verde) que un ángulo recto, y se introduce la medida en grados: una vuelta completa mide 360°, con giros de 90°, 180° y 270°.

Con regletas del CRA se construyen giros de 1/8, 3/8, 1/6 y 3/4 de vuelta expresados en grados (45°, 135°, 60°, 270°); la circunferencia graduada de 15° en 15° ilustra amplitudes de 15°, 30° y 45°, y se piden trazos de 30°, 150° y 120°.

Guía 21 B: se calcan tres ángulos con hoja calcante y se miden sobre la circunferencia graduada de 15° en 15°; el ejemplo del ángulo POQ muestra el método: lado OP en 0° y amplitud leída donde cae OQ (30°).

Guía 21 C presenta el transportador (de 360° o de 180°) como aparato para medir amplitudes: se mide un ángulo obtuso de unos 150° y se identifican y miden los ángulos internos de un cuadrilátero y de un pentágono cóncavo.

Guía 21 D: se dibujan (sin calcar) un triángulo de lados 2, 6 y 8 cm y un pentágono de lados 4, 4, 1,5, 6 y 3,5 cm para medir sus ángulos internos, y se traza a escala (1 cm = 10 cm) el recorrido de Alejo con giros de 30°, 40° y 60°.

Página dirigida al docente: explica que estas páginas complementan la Guía del maestro, resume la metodología de Escuela Nueva (problemáticas experiencias que construyen el pensamiento) y remite al cuadro de Estándares de la Guía del maestro.

Página docente que recomienda cómo enseñar las Guías 10 y 11: relación entre decimales y medidas compuestas (3,02 m), fracciones decimales y la composición de equivalencias (décima, centésima, milésima) comparada con centenas y unidades de longitud.

Continuación de las recomendaciones docentes: los decimales son una construcción nueva (no otra escritura de lo conocido), la actividad 3 de la Guía 10D estudia variación de magnitudes con gráficas, y la Guía 11C enseña el uso de la calculadora interpretando cocientes y residuos.

Recomendaciones docentes: áreas por recubrimiento y cálculo (Guía 12), unidades de área de 100 en 100 (Guía 13), volumen y equivalencia 1 dm³ = 1 l (Guía 14), y arreglos con tablas de doble entrada y diagramas de árbol (Guía 15).

Recomendaciones docentes para las Guías 16 y 17: estudiar la variación entre dos magnitudes con gráficas cartesianas, distinguir correlación directa (precio y unidades) de inversa (melaza vendida y nivel en la caneca) y anticipar la relación P/D de la circunferencia.

Última página de la cartilla: concluye que P/D da siempre pi con gráfica recta desde (0,0), recomienda cómo trabajar las Guías 18 a 21 (relaciones entre figuras, perímetro y área del círculo, ángulos) y cierra con un llamado al docente a contextualizar y evaluar.